양-밀스 이론

3. 이론적 내용

양-밀스 이론은 비가환 대칭군을 갖는 게이지 이론의 특별한 예시이다. 이 이론은 바일 등에 의해 연구가 진행된 가환 대칭성에 기초한 게이지 이론을 비가환 대칭성까지 발전시킨 것이다.^[2]

이 이론의 핵심 요소는 다음과 같다.

• 라그랑지안:
• 게이지 장의 라그랑지언은 $\backslash mathcal\{L\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash operatorname\{Tr\}(F^2)=-\; \backslash frac\{1\}\{4\}F^\{\backslash mu\; \backslash nu\; a\}\; F\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}^a$로 주어진다.^[2]
• 다른 입자들은 공변미분 ($D\_\backslash mu=\backslash partial\_\backslash mu-igT^aA^a\_\backslash mu$)을 통해 최소결합(minimal coupling)된다.
• 장방정식: 라그랑지안으로부터 고전적인 장방정식을 얻는다.
• 자기-상호작용: 이 필드는 자기-상호작용하는 속성을 가지며, 운동 방정식은 세미선형이다. 비선형성은 미분과 미분 없이 모두 존재한다.
• 섭동 이론: 이 이론은 작은 비선형성을 가진 섭동 이론으로만 관리할 수 있다.
• 차원과 재규격화:
• D차원에서 필드는 $\backslash left[A\backslash right]=\backslash left[\; L^\{\backslash left(\backslash tfrac\{2-D\}\{2\}\backslash right)\}\; \backslash right]$로, 결합은 $\backslash left[g^2\backslash right]\; =\; \backslash left[L^\{\backslash left(D-4\backslash right)\}\backslash right]$로 스케일링된다.
• 4차원 초과에서는 재규격화될 수 없다.
• 스케일 불변성: 4차원에서 결합은 무차원이며, 필드와 결합의 제곱은 질량이 없는 4차 스칼라장 이론의 필드 및 결합과 동일한 차원을 갖는다. 따라서 고전적 수준에서 스케일 불변성을 공유한다.

3. 1. 정의

3. 2. 게이지 변환

3. 3. 양-밀스 항

4. 상 (Phase)

물질을 포함하는 게이지 군이 $G$인 양-밀스 이론에서 임의의 방향 $U(1)\backslash subset\; G$는 다양한 상들을 가진다.^[18][19][20] 이들은 퍼텐셜 $V(r)$로 나타낼 수 있다.

• '''힉스 상'''(Higgs phase^영어)에서는 $V(r)\backslash sim\; r^0$이다. 이는 상호작용이 힉스 메커니즘 등을 통해 자발 대칭 깨짐을 겪는 경우다. 이 경우, 낮은 에너지에서는 이 상호작용을 관찰할 수 없다. 표준 모형의 약한 상호작용이 이에 해당한다.
• '''윌슨 상'''(Wilson phase^영어) 또는 '''가둠 상'''(confining phase^영어)에서는 $V\backslash sim\; r$이다. 이 경우는 U(1)이 단순 리 군 $U(1)\backslash subset\; G\_c$에 속하고, 낮은 에너지에서 관측되는 입자들은 $G\_c$에 대하여 대전되지 않는 일중항(singlet)들이다. 표준 모형의 강한 상호작용이 이에 해당한다.
• '''쿨롱 상'''(Coulomb phase^영어)에서는 $V(r)\backslash sim\; r^\{-1\}$ (쿨롱 법칙)이다. 예를 들어, 게이지 군이 아벨 군으로 대칭 깨짐을 겪는 경우, 깨지지 않은 방향들은 이러한 상에 있게 된다. 또한, 비아벨 게이지 이론에서도 충분한 수의 페르미온이 있다면 점근 자유성이 사라지고, 쿨롱 상이 있게 된다. 표준 모형의 전자기 상호작용이 이에 해당한다.
• '''자유 전기 상'''(自由電氣相, free electric phase^영어)에서는 $V(r)\backslash sim\; 1/(r\backslash ln\; r)$이다. 이는 아벨 게이지 이론에서, 무질량 대전 입자가 존재하는 경우이다. 이 경우 재규격화군 흐름에 의하여 결합 상수가 $\backslash alpha\backslash sim1/\backslash ln\; r$로, 낮은 에너지 (긴 거리)에서 약해진다. 이는 쌍생성을 통한 진공 편극(vacuum polarization)에 의한 가리움 효과(shielding effect)이다.
• '''자유 자기 상'''(自由磁氣相, free magnetic phase^영어)에서는 $V(r)\backslash sim(\backslash ln\; r)/r$이다. 이는 아벨 게이지 이론에서 무질량 자기 홀극이 존재하는 경우이다. 이 경우 자기 결합 상수가 $\backslash alpha^\{-1\}\backslash sim1/\backslash ln\; r$이 되므로, 두 전기 홀극 사이의 퍼텐셜은 그 역으로, 먼 거리에서 쿨롱 상보다 더 강하게 된다. 이는 자기 홀극의 쌍생성에 의한 것이다.

전기-자기 이중성은 힉스 상과 윌슨 상을 관계짓는다. 즉, 전기 홀극이 진공 기댓값을 가지면 힉스 상이 되고, 반대로 자기 홀극이 진공 기댓값을 가지면 윌슨 상이 된다.

5. 재규격화군과 결합 상수

재규격화군 개념을 통해, 에너지 스케일에 따라 결합 상수가 변화하는 것을 알 수 있다. $n\_f$ 개의 맛깔을 가진 게이지 군의 표현 $r$에 속하는 페르미온을 포함하는 양-밀스 이론의 1루프 베타 함수는 다음과 같다.^[2]

:$\backslash beta(g)\; =\; -\backslash frac\{g^3\}\{(4\; \backslash pi)^2\}$

\left(\frac{11}{3}C_2(G) -\frac{4}{3}n_fC(r)\right)

여기서 $C\_2(G)$는 $f^\{acd\}f^\{bcd\}=C\_2(G)\; \backslash delta^\{ab\}$에 의해 정의되는 수반 표현에서의 2차 카시미어 연산자이고, $C(r)$은 표현 $r$에서의 생성자 행렬 표현의 정규화 상수 $\backslash mathrm\{Tr\}(T^a(r)T^b(r))=C(r)\; \backslash delta^\{ab\}$이다.

양자 색역학에서는 $C\_2(G)=3$이고, $C(r)=1/2$이다.^[2] 페르미온의 맛깔이 적은 경우, 양-밀스 이론은 고에너지에서 상호작용이 약해지는 점근적 자유성을 가진다.^[2]

6. 양자화

루드비히 파데예프와 빅토르 포포프는 '고스트 장'을 도입하여 게이지 자유도 문제를 해결하였다. 이 장은 페르미-디락 통계를 따르지만 스핀-통계 정리를 위반하는 복소 스칼라 장이므로 비물리적이다. (파데예프-포포프 고스트 참조)

양-밀스 이론을 양자화하는 방법 중 하나는 함수적 방법, 즉 경로 적분을 사용하는 것이다. 이러한 과정을 통해, n-점 함수를 생성하는 범함수를 다음과 같이 쓸 수 있다.^[2]

:$\backslash begin\{align\}$

Z[j,\bar\varepsilon,\varepsilon] & = \int [\mathrm{d}\ A] [\mathrm{d}\ \bar c] [\mathrm{d}\ c]\ \exp\Bigl\{ i\ S_F\ \left[\partial A, A\right] + i\ S_{gf}\left[\partial A\right] + i\ S_g\left[\partial c, \partial\bar c, c,\bar c, A \right] \Bigr\} \\

&\exp\left\{i\int \mathrm{d}^4x\ j^a_\mu(x)A^{a\mu}(x)+i\int \mathrm{d}^4x\ \left[\bar c^a(x)\ \varepsilon^a(x) + \bar\varepsilon^a(x)\ c^a(x)\right]\right\}

\end{align}

여기서

:$S\_F=-\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^4\; x\backslash \; \backslash operatorname\{tr\}\backslash left(\; F^\{\backslash mu\; \backslash nu\}\backslash \; F\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}\; \backslash right)\backslash$

는 장에 대한 것이고,

:$S\_\{gf\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\backslash xi\}\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^4\; x\backslash \; (\backslash partial\backslash cdot\; A)^2\backslash$

는 게이지 고정에 대한 것이며,

:$\backslash \; S\_g\; =\; -\backslash int\; \backslash mathrm\{d\}^4\; x\backslash \; \backslash left(\backslash bar\; c^a\backslash \; \backslash partial\_\backslash mu\backslash partial^\backslash mu\; c^a\; +\; g\backslash \; \backslash bar\; c^a\backslash \; f^\{abc\}\backslash \; \backslash partial\_\backslash mu\backslash \; A^\{b\backslash mu\}\backslash \; c^c\; \backslash right)\backslash$

는 고스트에 대한 것이다. 는 고스트 장을 나타내고, 는 양자화를 위한 게이지 선택을 고정한다.

이 범함수를 통해 페인만 규칙을 유도할 수 있다. (페인만 도표 참조)

7. 미해결 문제

양-밀스 이론의 수학은 매우 활발한 연구 분야이며, 사이먼 손턴 도널드슨의 연구를 통해 4차원 다양체에서 미분 가능한 구조의 불변량을 산출하는 등 중요한 역할을 한다.^[12] 또한, 양-밀스 이론 분야는 클레이 수학 연구소의 "밀레니엄 문제" 목록에 포함되었다. 여기서 상금 문제는 특히 순수 양-밀스 이론(즉, 물질장이 없는)의 최저 여기 상태가 진공 상태에 관해 유한한 질량 간극을 갖는다는 추측의 증명으로 구성된다. 이 추측과 관련된 또 다른 미해결 문제는 추가적인 페르미온이 존재할 때의 색 가둠 속성을 증명하는 것이다.

참조

_[1] 웹사이트 Yang-Mills & The Mass Gap https://www.claymath[...] 2024-04-09
_[2] 저널 Gauge theory: Historical origins and some modern developments https://link.aps.org[...] 2000-01-01
_[3] 서적 Mathematical Conversations: Selections from the ''Mathematical Intelligencer'' https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2012-12-06
_[4] 서적 The Quantum Story: A history in 40 moments Oxford University Press
_[5] 저널 Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance
_[6] arXiv On Pauli's invention of non-abelian Kaluza-Klein Theory in 1953
_[7] memorial Ronald Shaw 1929–2016 by Michael Atiyah (1954) https://issuu.com/tr[...] 2017
_[8] 논문 The problem of particle types and other contributions to the theory of elementary particles University of Cambridge 1956-09
_[9] 서적 Cosmic Anger: Abdus Salam – the first Muslim Nobel scientist Oxford University Press 2008
_[10] 저널 Mass and width of the lowest resonance in QCD
_[11] 저널 Experimental status of the ππ isoscalar S wave at low energy: {{mvar|f}}₀(600) pole and scattering length
_[12] 저널 Regularization and renormalization of gauge fields https://repositorio.[...]
_[13] 저널 Yang and Mills (1954)
_[14] 문서 On Pauli's invention of non-Abelian Kaluza-Klein Theory in 1953
_[15] 문서 See Abraham Pais' account of this period as well as L. Susskind's "Superstrings, Physics World on the first non-Abelian gauge theory" where Susskind wrote that Yang-Mills was "rediscovered" only because Pauli had chosen not to publish
_[16] 문서 微分とはその定義{{Indent|$f^\backslash prime\; =\; \backslash lim\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash rightarrow\; 0\}\; \backslash frac\{f(x+\backslash Delta\; x)\; -f(x)\}\{\backslash Delta\; x\}$}}からも分かる通り、本質的に空間上の二点の値に依存する。従って、各点ごとに独立なゲージパラメタを持つ局所ゲージ変換の上で不変な項を作る事は、通常の微分からでは不可能である。その変化分を相殺するために、共変微分及びゲージ場が必要とされる。つまり、局所ゲージ不変性を要請する事と、ゲージ場の存在を要請する事とは同じ事である。field-strengthは、ゲージ場だけから作られるゲージ共変なテンソルとして一意に定まる。[[微分幾何学]]の言葉では、ゲージ場は[[接続 (幾何学)|接続]]、ゲージ場の強度は[[曲率]]となる。
_[17] 저널 Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance 1954-10
_[18] 저널 Duality in supersymmetric Yang–Mills theory https://archive.org/[...] 2002-12-14
_[19] 저널 New superconformal field theories in four dimensions and N=1 duality 2001-01
_[20] 저널 Lectures on supersymmetric gauge theories and electric-magnetic duality 1996-02